Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum
Konsep
himpunan merupakan dasar untuk matematika dan ilmu computer. Banyak
konsepo matematika dimulai dengan himpunan. Contohnya, hubungan antara
dua objek disajikan sebagai pasangan terurut objek, konsep pasangan
terurut didefinisikan menggunakan himpunan, bilangan-bilangan asli yang
merupakan dasar bagi bilangan-bilangan yang lain juga didefinisikan
menggunakan himpunan.
A. Pengertian Himpunan dan Notasi Himpunan
Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek ini disebut elemen atau anggota dari himpunan.
B. Penulisan Himpunan
- Cara mendaftar/tabular form
yaitu menuliskan elemen-elemen himpunan di dalam kurung kurawal {}.
Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5}
- Cara merumuskan/mendaftar syarat keanggotaan/set builer form
yaitu mendeskripsikan dengan aturan atau predikat anggota yang harus dipenuhi.
Contoh:
C. Jenis-Jenis Himpunan
Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, yang dilambangkan dengan atau {}.
Contoh:
- Himpunan Universal (Semesta)
Himpunan
universal (universal set) adalah himpunan yang mempunyai semua elemen
di dalam semesta pembicaraan. Himpunan universal dilambangkan dengan U
adalah himpunan yang memenuhi 
Contoh:
Himpunan Bagian (Subset) dilambangkan dengan 
jika dan hanya jika 
1) Finit (berhingga) 
2) Infinit (tak berhingga) 
Himpunan kuasa (power set) adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari A dan dilambangkan dengan 2A atau P(A).
Contoh: A = {1, 2, 3}
D. Operasi-Operasi Pada Himpunan
Untuk 
, gabungan (union) dari A dan B dilambangkan dengan 
adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen dari A atau B.
Jadi, 
Diagram venn untuk 
:
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Untuk 
irisan (intersection) dari A dan B dilambangkan dengan 
adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang termasuk di A dan B.
Jadi, 
.
Diagram venn untuk 
:
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
= {3, 4}
Misalkan 
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {6, 7, 8, 9}
Secara umum, jika A1, A2, A3, …, An adalah subhimpunan U, maka 
dapat dinotasikan 
dan 
dapat dinotasikan 
.
Untuk , selisih (difference) dari B dan A dilambangkan dengan 
adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A tetapi tidak di B. Untuk 
Jadi, 
.
Diagram venn untuk da:
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3}
= {5, 6}
Untuk , komplemen (complement) dari A dilambangkan dengan 
atau Ac atau A’ adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di U dan tidak di A.
Jadi, 
.
Diagram venn untuk :
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
= {5, 6, 7, 8, 9, 10}
- Selisih Simetrik (Symmetric Difference)
Untuk , selisih simetrik (symmetric difference) A dan B dilambangkan dengan 
adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A atau di B tetapi tidak dalam keduanya.
Jadi, 
.
Diagram venn untuk 
:
Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6}
= {1, 2, 3} 
{5, 6}
= {1, 2, 3, 5, 6}
E. Sifat-Sifat Operasi Himpunan
F. Relasi dan Fungsi
- Pengertian dan Hasil Kali Fungsi
1) Definisi Fungsi
Contoh:
a) A = {a, b, c}
B = {p, q}
f : 
?
b) P = {k, l}
Q = {m, n}
f : 
?
Note:
Bukan fungsi karena ada 1 elemen pada domain yang berpasangan.
Fungsi onto 
range = kodomain
2) Hasil Kali Fungsi
Definisi:
Contoh:
- Fungsi Invers dan Grafik Invers
1) Fungsi Invers
Misal suatu fungsi 
, maka invers dari b dinyatakan dengan
f-1(b) yaitu:
terdiri dari elemen-elemen A yang dipetakan pada b.
Contoh 1:
Misal f : 
didefinisikan dengan diagram sebagai berikut:
Maka f-1(p) = {l} karena l dipetakan ke p, f-1(q) = {k, m} karena k dan m dipetakan ke q, dan f-1(r) = {n} karena n dipetakan ke r.
Contoh 2:
Misal g : 
didefinisikan oleh
Maka g-1(2) = {-2, 2} karena bayangan dari 2 adalah -2 dan 2, yaitu nilai mutlak dari -2 dan 2 adalah 2.
Sekarang kita perhatikan kembali fungsi 
maka
Contoh 3:
Misal 
didefinisikan seperti pada contoh 1, jika D = {p, q} maka f-1(D) = {k, l, m}, karena yang dipetakan ke p atau q adalah k, l, dan m.
Misal adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap 
,
f-1(b) mempunyai satu elemen tunggal dalam A.
Oleh karena itu, ada suatu aturan yang memasangkan setiap adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap dengan suatu elemen tunggal f-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f-1 : 
.
Contoh 4:
Misal didefinisikan oleh diagram berikut:
Karena adalah fungsi satu-satu dan onto maka f-1 : dengan suatu elemen tunggal f-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f-1 : ada, yaitu seperti diagram berikut:
Contoh 5:
Misal 
didefinisikan oleh g(x) = x2 maka g-1 tidak ada karena g bukan fungsi satu-satu.
Teorema Fungsi Invers:
Misal adalah satu-satu dan pada (onto) sehingga f-1 : ada, maka:
a) 
adalah fungsi satuan pada A.
b) 
adalah fungsi satuan pada B.
Contoh I:
Misal dan f-1 :
Contoh II:
Misal 
. Tentukan f-1(x) dan 
?
Jawab:
2) Grafik Fungsi
Misal suatu fungsi . Grafik f* dari fungsi f terdiri dari semua pasangan terurut yang mana 
muncul sebagai elemen pertama dan bayangannya sebagai elemen kedua, dinyatakan sebagai:
perlu diperhatikan bahwa 
yaitu grafik fungsi f merupakan subset dari
A x B.
Contoh 6:
didefinisikan seperti pada contoh 1, maka diperoleh f(k) = q, f(l) = p,
f(m) = q, dan f(n) = r, sehingga: f* = {(k, q), (l, p), (m, q), (n, r)}
Contoh 7:
Misal A = {1, 2, 3}, 
didefinisikan sebagai f(x) = 2x -1 maka diperoleh: g(1) = 1, g(2) = 3, dan g(3) = 5 sehingga: g* = {(1, 1), (2, 3), (3, 5)}
Contoh 8:
Misal 
(R adalah himpunan bilangan real) didefinisikan sebagai h(x) = x2 + 1 maka diperoleh: h(0) = 1, h(-1) = 2, h(1) = 2, … sehingga h* = {…, (-1,2), (0,1), (1,2), …}.
Selanjutnya
grafik dari fungsi pada contoh di atas, yaitu f*, g*, dan h* dapat
digambarkan pada diagram koordinat Cartesius (bidang Cartesius) secara
berturut-turut sebagai berikut:
Grafik suatu fungsi pada diagram koordinat Cartesius apabila diperhatikan mempunyai dua sifat sebagai berikut:
a) Untuk setiap 
maka ada satu pasangan terurut 
.
b) Jika dan 
maka b = c.
